Logika matematyczna, teoria mnogości i podstawy matematyki

W dyskusji zamykającej konferencję 24-letni Kurt Gödel mimochodem stwierdza, że w arytmetyce istnieją zdania prawdziwe, których nie da się udowodnić. Nazajutrz David Hilbert mówi przez radio: „Wir müssen wissen — wir werden wissen.”

Zagadka na marginesie

Czy ∅ ∈ {∅}? A czy ∅ ⊆ {∅}?

Odsłoń odpowiedź

Oba zdania są prawdziwe. {∅} ma dokładnie jeden element, sam zbiór pusty. Inkluzja zachodzi z innego powodu: ∅ jest podzbiorem każdego zbioru.

Ciekawostka

CKpqr

Jan Łukasiewicz zapisywał logikę bez nawiasów: spójnik stoi przed argumentami, więc CKpqr znaczy (p ∧ q) ⇒ r. Odwrócony wariant tego zapisu trafił do kalkulatorów Hewlett-Packarda jako RPN, „odwrotna notacja polska”.

Księgozbiórźródła rozdziału

W. Guzicki, P. Zakrzewski

Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości

PWN, 2005 · ∈ = ⊆ ∅ ∪
P. R. Halmos

Naive Set Theory

Van Nostrand, 1960 · ∈ = ⊆ ∅
J. van Heijenoort (red.)

From Frege to Gödel

Harvard University Press, 1967 · kroniki

Literatura

Biblioteka, która się kończy

W opowiadaniu Borgesa (1941) każda księga ma 410 stron, 40 wierszy na stronie i 80 znaków w wierszu, zapisanych 25 symbolami. Biblioteka wydaje się nieskończona, a jednak liczba różnych ksiąg jest skończona:

25^{1 312 000}

Jorge Luis Borges, „Biblioteka Babel”

Portret1845–1918

Georg Cantor

twórca teorii mnogości

„Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.”

Istota matematyki leży w jej wolności. Pisał to w 1883 roku, broniąc nieskończoności aktualnej przed Kroneckerem, który uznawał tylko to, co da się skonstruować.

Paradoks

R = { x : x ∉ x }

16 czerwca 1902 Bertrand Russell pisze do Gottloba Fregego. Drugi tom Grundgesetze jest już w druku. Wystarczy jedno pytanie: czy R ∈ R?

Rozplątaj

Jeśli R ∈ R, to R spełnia warunek x ∉ x, więc R ∉ R. Jeśli R ∉ R, to spełnia warunek, więc R ∈ R. Aksjomat wyróżniania w ZFC zamyka tę furtkę: zbiory wydzielamy tylko z już istniejących.

Ciekawostka · Lwów

W Kawiarni Szkockiej matematycy wpisywali problemy do zeszytu, zwanego później Księgą Szkocką, razem z nagrodą. Za problem 153 z 1936 roku Stanisław Mazur wyznaczył żywą gęś. Rozwiązał go Per Enflo w 1972 roku i gęś rzeczywiście odebrał.

Echo · tekst kultury

Wskaż tekst kultury, będący inspiracją obrazków w tej notatce.

Odsłoń odpowiedź

[ODPOWIEDŹ]